家庭#1（男男男）：一共有3个男孩儿，每个男孩儿都没有姐妹；该家庭没有女孩儿。
家庭#2（男男女）：一共有2个男孩儿，每个男孩儿都有1个姐妹；只有1个女孩儿，她没有姐妹。
家庭#3（男女男）：同上。
家庭#4（女男男）：同上。
家庭#5（女女男）：只有1个男孩儿，他有2个姐妹；一共有2个女孩儿，每个女孩儿都有1个姐妹。
家庭#6（女男女）：同上。
家庭#7（男女女）：同上。
家庭#8（女女女）：该家庭没有男孩儿；一共有3个女孩儿，每个女孩儿都有2个姐妹。
家庭#1（男男男）：一共有3个男孩儿，每个男孩儿都没有姐妹；该家庭没有女孩儿。
家庭#2（男男女）：一共有2个男孩儿，每个男孩儿都有1个姐妹；只有1个女孩儿，她没有姐妹。
家庭#3（男女男）：同上。
家庭#4（女男男）：同上。
家庭#5（女女男）：只有1个男孩儿，他有2个姐妹；一共有2个女孩儿，每个女孩儿都有1个姐妹。
家庭#6（女男女）：同上。
家庭#7（男女女）：同上。
家庭#8（女女女）：该家庭没有男孩儿；一共有3个女孩儿，每个女孩儿都有2个姐妹。
这24个小孩儿中有12个男孩儿，其中3个男孩儿的姐妹数量为0，6个男孩儿的姐妹数量为1，3个男孩儿的姐妹数量为2，平均每个男孩儿拥有1个姐妹。同时，这24个小孩儿中还有12个女孩儿，其中3个女孩儿的姐妹数量为0，6个女孩儿的姐妹数量为1，3个女孩儿的姐妹数量为2，平均每个女孩儿拥有1个姐妹。果然，平均每个男孩儿的姐妹数量和平均每个女孩儿的姐妹数量是一样的！
当然，还有很多家庭并不是3个小孩儿。不过没关系，放眼一般情况（即在整个社会当中），平均每个男性拥有的姐妹数量仍然和女性一样多。下面是一个直观的想法。假如我们在路上看见一个陌生的男孩儿，问他有几个姐妹。我们得到的回答将会取决于他的家庭里还有多少个小孩儿，以及这些小孩儿各自的性别。现在，如果把陌生男孩儿换成陌生女孩儿，那么得到的回答将会取决于她的家庭里还有多少个小孩儿，以及这些小孩儿各自的性别。在这两种情况下，我们得到的回答应该是一样的。因此，平均算下来，男性和女性拥有的姐妹数量相等。
03
同时抛掷10枚硬币，正面朝上的硬币数量为偶数的概率大，还是为奇数的概率大？
答案：一样大。事实上，把10换成任意正整数，这个问题的答案都不会变——正面朝上的硬币个数是奇是偶的概率一样大。
让我们把这个问题先修改一下：同时抛掷5枚硬币，正面朝上的硬币数量为偶数的概率大，还是为奇数的概率大？有趣的是，新的问题突然有了一种非常简单的解法。我们可以把同时抛掷5枚硬币的结果分成六大类：0个正面5个反面、1个正面4个反面、2个正面3个反面、3个正面2个反面、4个正面1个反面、5个正面0个反面。我们把这六类情况分成3组：
(1) 0正5反，5正0反
(2) 2正3反，3正2反
(3) 4正1反，1正4反
注意，每一组里的前后两类情况出现的概率都是相同的，然而前面那类总是属于有偶数个正面的情况，后面那类总是属于有奇数个正面的情况。因而总的来说，有偶数个正面的情况和有奇数个正面的情况将会概率均等地出现。
回到原问题。如果是10枚硬币的话，又该怎么办呢？大家或许想要故技重施，但却发现这回不管用了。虽然“0正10反”和“10正0反”出现的概率仍然相等，但它们都是有偶数个正面的情况，这样就没法推出奇偶两种情况各占一半的结论了。不过，我们另有奇招。把这10枚硬币分成两组，每一组各有5枚硬币。根据刚才的结论，每组硬币里面出现偶数个正面和出现奇数个正面的概率是相同的，因而，同时抛掷这两组硬币后，检查两组硬币正面朝上的数量分别有多少，会产生“偶偶”、“偶奇”、“奇偶”、“奇奇”这四种等概率的组合。在第一种情况和最后一种情况中，最终正面朝上的硬币数量为偶数；在第二种情况和第三种情况中，最终正面朝上的硬币数量为奇数。可以看到，正面朝上的硬币数量是奇是偶的概率相等。
我们还有另一种更简单的方法来说明，同时抛掷10枚硬币后，正面朝上的硬币数量是奇是偶的概率的确相同。假设你已经抛掷了9枚硬币，正准备抛掷最后一枚硬币。不管前9枚硬币抛掷成啥样，最后这枚硬币的正反都将会起到决定性的作用，具体情况分为两种，视前9枚硬币的抛掷结果而定：
A. 如果最后一枚硬币是正面，总的正面个数就是偶数；如果最后一枚硬币是反面，总的正面个数就是奇数；
B. 如果最后一枚硬币是正面，总的正面个数就是奇数；如果最后一枚硬币是反面，总的正面个数就是偶数。
容易看出，不管是A和B中的哪种情况，总的正面个数是奇是偶的概率都是相等的。因此，即使出现情况A和出现情况B的概率不相等（当然，事实上它们是相等的），最终总的正面个数是奇是偶的概率也是相等的。
04
A、B两人为一件小事争执不休，最后决定用抛掷硬币的办法来判断谁对谁错。不过，为了让游戏过程更刺激，A提出了这样一个方案：连续抛掷硬币，直到最近三次硬币抛掷结果是“正反反”或者“反反正”。如果是前者，那么A获胜；如果是后者，那么B获胜。
B应该接受A的提议吗？换句话说，这个游戏是公平的吗？
乍看上去，B似乎没有什么不同意这种玩法的理由，毕竟“正反反”和“反反正”的概率是均等的。连续抛掷三次硬币可以产生8种不同的结果，上述两种各占其中的1/8。况且，序列“正反反”和“反反正”看上去又是如此对称，获胜概率怎么看怎么一样。
不过，实际情况究竟如何呢？实际情况是，这个游戏并不是公平的——A的获胜概率是B的3倍！虽然“正反反”和“反反正”在一串随机硬币正反序列中出现的频率理论上是相同的，但别忘了这两个序列之间有一个竞争的关系，它们要比赛看谁先出现。一旦抛掷硬币产生了其中一种序列，游戏即宣告结束。这样一来，B就处于了一个非常窘迫的位置：不管什么时候，只要掷出了一个正面，如果B没赢的话，B就赢不了了——在出现“反反正”之前，A的“正反反”必然会先出现。
事实上，整个游戏的前两次硬币抛掷结果就已经决定了两人最终的命运。只要前两次抛掷结果是“正正”、“正反”、“反正”中的一个，A都必胜无疑，B完全没有翻身的机会；只有前两次掷出的是“反反”的结果，B才会赢得游戏的胜利。因此，A、B两人的获胜概率是3∶1，A的优势绝不止是一点。
似乎是还嫌游戏双方的胜率差异不够惊人，2010年，数学家Steve Humble和 Yutaka Nishiyama提出了上述游戏的一个加强版。去掉一副扑克牌中的大小王，洗好剩下的52张牌后，一张一张翻开。一旦出现连续三张牌，花色依次是红黑黑，那么玩家A加一分，同时把翻开了的牌都丢掉，继续一张张翻没翻开的牌；类似地，一旦出现连续三张牌恰好是黑黑红，则玩家B得一分，弃掉已翻开的牌后继续。
容易看到，加强版游戏相当于是重复多次的掷硬币游戏，因而毫无疑问，在这个新游戏中，玩家A的优势还会进一步放大。电脑计算显示，A获胜的概率高达93.54%，B获胜的概率则只有可怜的2.62%。另外3.84%则是两人平手的概率。然而，即使是这样，这个游戏看上去也会给人一种公平的错觉！
这个例子告诉我们，在赌博游戏中，直觉并不是准确的，求助概率论是很有必要的。
其实，概率论的诞生本来就和赌博游戏是紧紧联系在一起的。提到概率论的诞生，不得不提一位名叫Antoine Gombaud的法国作家。这人1607年出生于法国西部的一个小城市，他并不是贵族出身，却有着“骑士”的光辉头衔——只不过是他自封的而已。他借用了一个自己笔下的人物形象名称，自封为de Méré骑士。后来，这个名字便逐渐取代了他的真名Antoine Gombaud。不过，de Méré骑士并没有凭借自己的文学作品名扬天下，真正让他声名远扬的是他的赌博才能。而足以让他在历史上留名的，则是他对一个赌博游戏的思考。
在17世纪，法国赌徒间流行着一个赌博游戏：连续抛掷一颗骰子4次，赌里面是否会出现至少一个6点。这个游戏一直被视为是一个公平的赌博游戏，直到1650年左右，de Méré在另一个类似的游戏中莫名其妙地输得四个荷包一样重。当时，de Méré参加了这个赌博游戏的一个“升级版”：把两颗骰子连续抛掷24次，赌是否会掷出一对6点来。
de Méré自己做了一番思考。同时抛掷两颗骰子出现一对6点，比抛掷一颗骰子出现6点要困难得多，前者的概率是后者的1/6。要想弥补这个减小了的概率，我们应当把两颗骰子连续抛掷6次。为了追上连续抛掷4次骰子出现6点的概率，则应当把两颗骰子抛掷24次才行。de Méré果断地得出结论：在升级版游戏中掷出一对6点的概率，与传统游戏中掷出6点的概率是相等的，升级版游戏换汤不换药，与原来的游戏本质完全一样。
不过，这毕竟是不严格的直觉思维，事实情况如何还得看实战。在以前的游戏中，de Méré总是赌“会出现6点”，经验告诉他这能给他带来一些细微的优势。于是这一回，de Méré也不断押“会出现一对6点”。不料，这次他却赔得多赚得少，最终输了个精光。
这是怎么一回事儿呢？作为一个业余数学家，de Méré感到里面有玄机。但是，凭借自己的数学知识，他没有能力解决这个难题。无奈之下，他只好求助当时的大数学家布莱士·帕斯卡（Blaise Pascal）。
帕斯卡可是真资格的数学家。他很快便意识到，这种问题的计算不能想当然，事实和直觉的出入可能会相当大。比方说，de Méré的直觉就是有问题的：重复多次尝试确实能增大概率，但这并不是成倍地增加。买一张彩票能中奖的概率是1%，并不意味着买两张彩票能中奖的概率就提升到了2%。否则，按此逻辑，买100张彩票能中奖的概率就变成了100%，这显然是荒谬的。类似地，把两颗骰子连续抛掷6次而非1次，出现一对6点的概率也并不会提升到原来的6倍。
看来，概率不能简单地加加减减，每一步推理都要有凭有据。帕斯卡考虑了游戏中所有可能出现的情况，算出了在新旧两种版本的游戏中，会出现
一个（或一对）6点的概率分别是多少。
连续抛掷4次骰子，总共会产生64，也就是1296种可能。不过在这里面，一个6点都没有的情况共有54，也就是625种。反过来，至少有一个6点就有1296-625=671种情况，它占所有情况的671/1296≈51.77%，恰好比50%高出那么一点点。看来，de Méré的经验是对的——众人公认的公平游戏并不公平，赌6点会出现确实能让他有机可乘。
那么，连续投掷两颗骰子24次，能出现一对6点的概率又是多少呢？这回计算的工程量就有点大了。两颗骰子的点数有36种组合，连投24次则会有3624，大约是22.45万亿亿亿亿种情况。而24次投掷中，从没产生过一对6点的情况数则为3524，大约为11.42万亿亿亿亿。可以算出，如果赌24次投掷里会出现一对6点，获胜的概率是49.14%。又一个非常接近50%的数，只不过这次是比它稍小一些。
原来，升级版游戏并不是换汤不换药。两种游戏胜率虽然接近，但正好分居50%两边。这看似微不足道的差别，竟害得我们的“骑士”马失前蹄。
后来，这个经典的概率问题就被命名为“de Méré问题”。在解决这个问题的过程中，帕斯卡提出了不少概率的基本原理。因此，de Méré问题常被认为是概率论的起源。
当然，de Méré的故事多少都有一些杜撰的成分，大家或许会开始怀疑，在现今世界里，有没有什么还能玩得到的“伪公平游戏”呢？答案是肯定的。为了吸引玩家，赌场想尽各种花样精心设计了一个个迷魂阵一般的赌局。在那些最流行的赌博游戏中，庄家一方总是会稍占便宜；但游戏规则设计得如此之巧妙，以至于乍看上去整个游戏是完全公平，甚至是对玩家更有利的。“骰子掷好运”（chuck-a-luck）便是一例。
“骰子掷好运”的规则看上去非常诱人。每局游戏开始前，玩家选择1到6之间的一个数，并下1块钱的赌注。然后，庄家同时抛掷三颗骰子。如果这三颗骰子中都没有你选的数，你将输掉那1块钱；如果有1颗骰子的点数是你选的数，那么你不但能收回你的赌注，还能反赢1块钱；如果你选的数出现了2次，你将反赢2块钱；如果三颗骰子的点数都是你选的数，你将反赢3块钱。用赌博的行话来说，你所押的数出现了1次、2次或者3次，对应的赔率分别是1∶1、1∶2、1∶3。
用于抛掷三颗骰子的装置很有创意。它是一个沙漏形的小铁笼子，三颗骰子已经预先装进了这个笼子里。庄家“抛掷”骰子，就只需要把整个沙漏来个180度大回旋，倒立过来放置即可。因此，“骰子掷好运”还有一个别名——“鸟笼”。
18世纪英国皇家海军的水手间流行过一种叫做“皇冠和船锚”（Crown and Anchor）的赌博游戏，其规则与“骰子掷好运”一模一样。唯一不同之处只是骰子而已。普通骰子的6个面分别是1点到6点，而“皇冠和船锚”所用骰子的6个面则是6种不同的图案——扑克牌的黑、红、梅、方，再加上皇冠和船锚两种图案。之后，“赌博风”又蔓延到了商船和渔船上，“皇冠和船锚”也就逐渐走出了皇家海军的圈子。一般认为，这也就是“骰子掷好运”的起源了。现在，很多赌场都提供了“骰子掷好运”的赌博项目。
对玩家而言，这个游戏看上去简直是在白送钱：用三颗骰子掷出6个数中的一个，怎么也会有一半的概率砸中吧，那玩家起码有一半的时间是在赚钱，应当是稳赚不赔呀。其实，这是犯了和de Méré一样的错误——一颗骰子掷出玩家押的数有1/6的概率，并不意味着三颗骰子同时抛掷就会有3/6的概率出现此数。在抛掷三颗骰子产生的所有63种情况中，玩家押的数一次都没出现有53种情况，所占比例大约是57.87%。也就是说，大多数时候玩家都是在赔钱的。
不过，考虑到赚钱时玩家有机会成倍地赢钱，这能否把输掉的钱赢回来呢？一些更为细致的计算可以告诉我们，即使考虑到这一点，游戏对玩家仍然是不利的：平均每赌1块钱就会让玩家损失大约8分钱。不过，我们还有另一种巧妙的方法，无需计算便可看出这个游戏对玩家是不利的。
这显然是一个没有任何技巧的赌博游戏，不管押什么胜率都是一样的。因此，不妨假设有6名玩家同时在玩这个游戏，这6个人分别赌6个不同的点数。此时玩家联盟的输赢也就足以代表单个玩家的输赢了。
假设每个人都只下注1块钱。抛掷骰子后，如果三颗骰子的点数都不一样，庄家将会从完全没猜中点数的3个人手中各赚1块，但同时也会赔给另外3人各1块钱；如果有两颗骰子点数一样，庄家会从没猜中点数的4个人那里赢得共4块，但会输给另外两人3块；如果三颗骰子的点数全一样，庄家则会赢5块但亏3块。也就是说，无论抛掷骰子的结果如何，庄家都不会赔钱！虽然一轮游戏下来有的玩家赚了，有的玩家亏了，但从整体来看这6名玩家是在赔钱的，因此平均下来每个玩家也是在不断输钱的。
05
有一趟公交车，平均每10分钟发一班车（但具体的发车时间很不固定）。如果你在某个时刻来到车站，等到下一班车平均要花多长时间？
很多人或许都觉得，平均等待时间应该是5分钟，毕竟平均间隔时间是10分钟嘛。然而事实上，平均等待时间是大于5分钟的。这是因为，10分钟的发车间隔只是一个平均值，实际间隔有时是几分钟，有时是十几分钟。如果你出现在车站的时刻，正好位于几分钟的间隔中，你的平均等待时间显然就会小于5分钟；但如果你出现在车站的时刻，正好位于较长的间隔中，那么你的平均等待时间就会大于5分钟。关键就在这里：你出现在车站的时刻，更有可能落在了较长的发车间隔中。因而，平均等待时间会偏向于大于5分钟的情况。
倘若公交车发车的时间足够随机，概率均等地分布在时间轴上（但平均间隔仍是10分钟），那么当你来到车站时，平均需要多久才能等到公交车呢？答案或许很出人意料——平均等待时间就是10分钟。
我们可以用数学计算来证明这一点，但下面这种思考方式或许更具启发性一些。假设一个骰子有600个面，分别标有数字1到600。因此，平均每扔600次才能扔出一个1点。如果每秒扔一次骰子的话，那么平均每10分钟才能看到一个1点。现在，如果有人扔了一阵子之后，你突然插进来说“换我来扔吧”，那么从你接手骰子开始，到下次扔出1点，平均需要多长时间？显然，还是10分钟。
是的，这一刻的命运由这一刻决定，与过去发生过的事情无关。这就好比抛掷硬币的游戏一样，即使连续9次抛掷硬币的结果都是反面，第10次掷出正面的概率仍然是50%。同样地，虽然平均每10分钟应该出现一个1点，但完全有可能出现连续一个小时都没有出现1点的罕见情况。那么，下次掷出的数字正好是1点的概率有多大？仍然是1/600。为了看到一个1点，平均还需等待多长的时间？仍然是10分钟。
我们常常把下面这类错误的想法称为“赌徒谬误”（gambler's fallacy）。
连续9次抛掷硬币的结果都是反面，下次是正面的概率总该大一些了吧。
这班车平均每10分钟来一班，都过了20分钟了还没来，说明快来了。
老家刚发生了一次百年一遇的大地震，今后几十年再发生地震的概率就很小了。
连续好几天买彩票中奖，运气被用光了，看来要开始倒霉了。
连续9次抛掷硬币的结果都是反面，下次是正面的概率总该大一些了吧。
这班车平均每10分钟来一班，都过了20分钟了还没来，说明快来了。
老家刚发生了一次百年一遇的大地震，今后几十年再发生地震的概率就很小了。
连续好几天买彩票中奖，运气被用光了，看来要开始倒霉了。
大数定律（law of large numbers）是概率论中最为基本的定律之一，它告诉我们，实验次数越多，统计结果会越接近理论上的平均情况。但这绝不意味着，老天会有意识地矫正偏差，寻求平衡。出现偏差没有关系，后面还有无穷多次实验，最终统计结果会自然地靠近理想情况的。
01
《浴缸里的惊叹：256道让你恍然大悟的趣题》
作者：浴缸里的惊叹：256道让你恍然大悟的趣题
《浴缸里的惊叹》源自阿基米德的那句“Eureka”，是那种苦思冥想后恍然大悟的奇妙感觉。本书精选自作者顾森十余年来精心收集的数学趣题，广泛包含了几何、组合、行程、数字、概率、逻辑、博弈、策略等诸多类别。其中既有小学奥数当中的经典题目，又有难题。多数题目都很简单，基本不需要繁复的计算或者艰深的专业知识，只需动脑或动手就可以想出答案，但想出所有答案也不是那么容易，有利于激发读者进一步探索数学问题的兴趣。
02
《概率论与数理统计精选350题》
作者：宋浩
全网千万粉丝、B站百大数学UP主、现象级高数救星宋浩老师继20万册畅销书《高等数学精选750题》后又一力作！
20年教学积淀，350道实战真题，拯救概率困难户，轻松通关不挂科
紧贴教学主线，覆盖主要题型；由浅入深，习题难度循序渐进；
适合大一大二学生，专升本，考研学生一轮复习打牢基础
本文转自：图灵编辑部返回搜狐，查看更多